第107章 一题多解！秦风的数学才情惊艳考场！[1/2页]

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    考场内的空气，仿佛被那道“骨灰级”的开局数学题给抽干了氧气，只剩下令人窒息的凝重与绝望。

    nbsp“沙沙沙……”

    nbsp除了少数几人还在徒劳地用笔尖戳着草稿纸，试图从那如同天书般的题目中榨出一点点灵感之外，大部分考生的动作都近乎凝固。有的双手抱头，紧闭双眼，仿佛在进行某种神秘的“通灵仪式”，企图从数学之神那里获得启示；有的则目光呆滞地望着天花板，开始认真思考“宇宙的尽头是不是也是一道解不出的数学题”这种高深莫测的哲学问题。

    nbsp“小法拉第”周凯同学，此刻感觉自己的物理学知识储备在数学题面前简直就是个战五渣。他偷偷瞄了一眼旁边的秦风，只见对方依旧是那副云淡风轻的模样，手中的派克钢笔在答题卡上行云流水般地滑动着，那从容不迫的气度，与周围一片“世界末日”的景象形成了鲜明对比。

    nbsp“这家伙……他不会真的把这题当成‘1+1来做了吧？”周凯心中哀嚎，感觉自己的膝盖又中了一箭，不，是中了一万支箭，还是带倒钩的那种！

    nbsp而此刻的秦风，确实已经完成了对第一题的常规解法。

    nbsp在他那被【神之右脑·巅峰降临】BUFF强化到极致的大脑中，这道题的常规解题路径清晰得如同掌上观纹。

    nbsp常规解法思路：

    nbsp利用最小元：设nbspk0=min?Sk_0nbsp=nbsp\minnbspSk0=minS。由于nbspSSSnbsp中元素均为正整数，这样的最小元必然存在。

    nbsp构造公差：考虑集合nbspS′={s?k0∣s∈S}S39;nbsp=nbsp\{snbspnbspk_0nbsp|nbspsnbsp\innbspS\}S′={s?k0∣s∈S}。则nbspmin?S′=0\minnbspS39;nbsp=nbsp0minS′=0，且nbspS′S39;S′nbsp同样满足加法封闭性。若nbspS′S39;S′nbsp中除了0之外还有其他元素，则必然存在一个最小正元素，记为nbspddd。

    nbsp证明nbspS′S39;S′nbsp中的元素都是nbspdddnbsp的倍数：利用带余除法和nbspS′S39;S′nbsp的加法封闭性，可以证明如果nbspS′S39;S′nbsp中存在一个元素不是nbspdddnbsp的倍数，那么通过作差和取最小正元素，可以得到一个比nbspdddnbsp更小的正元素，这与nbspdddnbsp的最小性矛盾。因此，S′S39;S′nbsp中的所有元素都是nbspdddnbsp的倍数，即nbspS′={md∣m∈N0}S39;nbsp=nbsp\{mdnbsp|nbspmnbsp\innbsp\mathbb{N}_0\}S′={md∣m∈N0}。

    nbsp还原到集合nbspSSS：由此可得nbspS={k0+md∣m∈N0}Snbsp=nbsp\{k_0nbsp+nbspmdnbsp|nbspmnbsp\innbsp\mathbb{N}_0\}S={k0+md∣m∈N0}，这便是题目结论中的等差数列形式。

    nbsp特殊情况讨论：如果nbspS′={0}S39;nbsp=nbsp\{0\}S′={0}，则意味着nbspS={k0}Snbsp=nbsp\{k_0\}S={k0}。此时，根据条件1，k0+k0=2k0∈Sk_0nbsp+nbspk_0nbsp=nbsp2k_0nbsp\innbspSk0+k0=2k0∈S，所以nbsp2k_0nbsp=nbspk_0，推出，推出nbsp，推出k_0nbsp=nbsp0，但这与，但这与nbsp，但这与S中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。更严谨地，如果中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。更严谨地，如果中元素为正整数矛盾（除非题目允许n=0的情况，但通常竞赛题会默认集合非空）。更严谨地，如果S中只有一个元素中只有一个元素中只有一个元素k，则，则nbsp，则k+k=2k也在也在也在Snbsp中，所以nbsp\2k=k，，，k=0，矛盾。因此，矛盾。因此nbsp，矛盾。因此Snbsp至少有两个元素。

    nbsp更正：如果nbspS′={0}S39;nbsp=nbsp\{0\}S′={0}，则nbspS={k0}Snbsp=nbsp\{k_0\}S={k0}。此时nbspk0+k0=2k0k_0+k_0nbsp=nbsp2k_0k0+k0=2k0nbsp必须等于nbspk0k_0k0，这意味着nbspk0=0k_0=0k0=0，与正整数矛盾。所以nbspS′S39;S′nbsp不可能只有0。

    nbsp再思考：如果nbspSSSnbsp中所有元素都是nbspk0k_0k0nbsp的倍数，即nbspS={mk0∣m∈Z+,m≥1}Snbsp=nbsp\{mk_0nbsp|nbspmnbsp\innbsp\mathbb{Z}+,nbspmnbsp\genbsp1\}S={mk0∣m∈Z+,m≥1}，这也是题目结论的一种形式。这种情况对应于上述推导中nbspd=k0d=k_0d=k0nbsp的情形。

    nbsp秦风的笔尖在答题卡上飞舞，每一个步骤都清晰明了，逻辑严谨。对于他而言，完成这种“标准解法”，不过是热身运动。

    nbsp“嗯，常规方法虽然稳妥，但……总感觉少了点意思。”秦风写完最后一个句号，心中暗道。他那颗被“理论极限推演”能力和“跨学科知识融通”能力打磨得无比敏锐的大脑，对于这种仅仅停留在“解出”层面的操作，已经有些“不满足”了。

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    nbsp他抬起头，目光再次落在那道题目上，眼神中闪过一丝玩味。

    nbsp“这道题的结构，其实还挺漂亮的。如果换个角度看，会不会有更……有趣的风景呢？”

    nbsp在“灵感火花·必中”被动技能的加持下，无数的数学思想如同夜空中璀璨的星辰，在他脑海中交相辉映。

    nbsp他拿起旁边的草稿纸，嘴角勾起一抹只有他自己才能理解的笑容。

    nbsp“那么，我们来玩点不一样的。”

    nbsp第一种巧妙解法：利用裴蜀定理与最大公约数的性质

    nbsp秦风的笔尖在草稿纸上飞快地勾勒起来。

    nbsp他首先指出，由条件1可知，如果nbspx1,x2,…,xm∈Sx_1,nbspx_2,nbsp\dots,nbspx_mnbsp\innbspSx1,x2,…,xm∈S，那么它们的任意正整数系数线性组合nbsp∑cixi\sumnbspc_inbspx_i∑cixi（其中nbspci∈Z+c_inbsp\innbsp\mathbb{Z}+ci∈Z+）也在nbspSSSnbsp中（通过反复作加法得到）。

    nbsp然后，他考虑集合nbspSSSnbsp中所有元素的最大公约数，记为nbspD=gcd?(S)Dnbsp=nbsp\gcd(S)D=gcd(S)。根据裴蜀定理的推广，必然存在nbspSSSnbsp中的有限个元素nbsps1,s2,…,sps_1,nbsps_2,nbsp\dots,nbsps_ps1,s2,…,spnbsp以及整数nbspc1,c2,…,cpc_1,nbspc_2,nbsp\dots,nbspc_pc1,c2,…,cp，使得nbsp∑cisi=D\sumnbspc_inbsps_inbsp=nbspD∑cisi=D。

    nbsp“这里的关键在于，我们能否保证这些系数nbspcic_icinbsp都是正的，或者通过nbspSSSnbsp的加法封闭性构造出nbspDDD。”秦风心中暗忖。

    nbsp他迅速调整思路：“不直接用裴蜀定理构造nbspDDD。而是证明，如果nbspD=gcd?(S)Dnbsp=nbsp\gcd(S)D=gcd(S)，那么对于足够大的nbspNNN，所有大于等于nbspNNNnbsp且是nbspDDDnbsp的倍数的整数，都可以表示成nbspSSSnbsp中元素的正整数系数线性组合，从而属于nbspSSS（这是一个经典的FrobeniusnbspCoinnbspProblem的推广思想，虽然不完全一样）。”

    nbsp“更直接地，”秦风的思路再次跳跃，“设nbspd=gcd?(S)dnbsp=nbsp\gcd(S)d=gcd(S)。那么nbspSSSnbsp中的所有元素都是nbspdddnbsp的倍数。令nbspS?={s/d∣s∈S}S*nbsp=nbsp\{s/dnbsp|nbspsnbsp\innbspS\}S?={s/d∣s∈S}。则nbspS?S*S?nbsp是一个由正整数构成的集合，满足加法封闭性，且nbspgcd?(S?)=1\gcd(S*)nbsp=nbsp1gcd(S?)=1。根据一个已知的数论结论（或可以现场证明的引理）：一个满足加法封闭且最大公约数为1的正整数集合，必然包含从某个整数开始的所有连续整数（或者说，除了有限个整数外，包含所有足够大的整数）。结合条件2中nbspSSSnbsp有下界nbspkkk，可以推导出nbspS?S*S?nbsp的结构，进而得到nbspSSSnbsp的结构。”

    nbsp这个思路，巧妙地运用了最大公约数的性质和数论中关于加法半群的结构定理，比常规的构造法显得更为凝练和深刻。

    nbsp坐在秦风斜后方的李傲天，原本还在为第一题的常规解法苦苦思索，偶尔用眼角的余光瞥见秦风在草稿纸上写下的那些关于nbspgcd?(S)\gcd(S)gcd(S)nbsp和裴蜀定理的符号，以及一些他看不太懂的集合变换，心中顿时掀起了惊涛骇浪。

    nbsp“他……他在干什么？难道这道题还能用最大公约数来解？我怎么从来没想过这个方向？”李傲天感觉自己的脑子有点不够用了。他引以为傲的数学直觉，在秦风面前，仿佛变成了一个笑话。

    nbsp苏沐橙也注意到了秦风草稿纸上的动静。她那双清冷的眸子里，第一次露出了难以置信的神色。她能隐约看出秦风似乎在运用某种与整除性密切相关的深刻理论，但具体的推导路径，却让她感到一阵目眩神迷。

    nbsp“这个秦风……他的数学功底，究竟有多深？”苏沐橙心中暗道，第一次对一个同龄人产生了如此强

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