第7章 技惊四座！这解法太完美了[1/2页]

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    讲台上，秦风手执半截白色粉笔，静静地伫立在巨大的黑板前。

    nbsp阳光透过窗棂，在他清瘦却挺拔的身影上投下一片斑驳的光晕，空气中，细小的粉笔尘埃在光柱中飞舞，如同无数微缩的星辰。

    nbsp整个高三（七）班，此刻陷入了一种近乎凝固的死寂。

    nbsp所有人的目光，都如同被磁石吸引的铁屑，牢牢地钉在秦风的身上，以及他面前那道堪称“地狱级”难度的椭圆综合大题上。

    nbsp先前那些幸灾乐祸的窃笑、轻蔑的议论、以及看好戏的眼神，此刻都已悄然隐去，取而代之的，是一种混杂着难以置信、强烈好奇以及一丝丝莫名称之为“期待”的复杂情绪。

    nbsp他们实在无法理解，这个平日里连及格线都摸不到的“着名学渣”，究竟是哪里来的勇气，敢在数学老师高远的盛怒与全班同学的注视下，如此从容不迫地走上讲台，去挑战一道连班级顶尖学霸都望而生畏的题目？

    nbsp难道他真的疯了？还是说，他隐藏了什么不为人知的秘密？

    nbsp高远双手环抱在胸前，斜倚在讲台边缘，嘴角噙着一抹冰冷的讥诮。他倒要看看，这个不知天高地厚的秦风，究竟能在这道题目面前撑多久！他甚至已经想好了，等秦风在黑板前抓耳挠腮、丑态百出之后，自己该如何用最尖酸刻薄的语言，将他那可笑的“自信”彻底碾碎，让他明白什么叫做真正的绝望！

    nbsp秦风没有理会周遭的一切。

    nbsp他的心神，已经完全沉浸在了眼前的这道题目之中。

    nbsp脑海中，“学神黑科技系统”的辅助功能已悄然启动。

    nbsp【叮！检测到宿主面临高难度学术挑战，系统辅助模块已激活。】

    nbsp【“初级数学思维（碎片）”效果增强，逻辑推演速度提升50%，复杂信息处理能力提升30%！】

    nbsp【正在对当前题目进行多维度解析……解析完毕！已为宿主筛选出最优解题路径三条，请宿主自行选择。】

    nbsp冰冷而机械的系统提示音，如同最精准的导航，在秦风的意识深处响起。

    nbsp刹那间，那道原本在他眼中依旧显得有些盘根错节、迷雾重重的椭圆大题，仿佛被一只无形的大手拨开了层层迷雾，露出了其内在清晰的逻辑脉络。

    nbsp各种相关的定义、定理、公式、辅助线作法、以及不同解题思路的优劣，如同潮水般涌入他的脑海，并被迅速整合、分析、优化。

    nbsp“原来如此……”秦风的眼眸深处，闪过一丝了然的精光。

    nbsp他深吸一口气，感受着大脑前所未有的清明与活跃，以及那股源于“初级数学思维”碎片的、对数学问题本质的敏锐洞察力。

    nbsp然后，他动了。

    nbsp手中的粉笔，在所有人的注视下，稳稳地落在了黑板的左上角。

    nbsp“唰——”

    nbsp清脆的摩擦声响起，打破了教室内的死寂。

    nbsp解：

    nbsp一个清晰而有力的“解”字，如同点睛之笔，瞬间吸引了所有人的目光。

    nbsp紧接着，秦风的笔尖开始在黑板上飞舞起来。

    nbsp（1）由题意知，e=ca=22enbsp=nbsp\frac{c}{a}nbsp=nbsp\frac{\sqrt{2}}{2}e=ac=22，则nbspa2=2c2a2nbsp=nbsp2c2a2=2c2

    nbsp又因为nbspa2=b2+c2a2nbsp=nbspb2nbsp+nbspc2a2=b2+c2，所以nbsp2c2nbsp=nbspb2nbsp+nbspc2......直线PF2的斜率，直线PF?的斜率nbsp，直线PF2的斜率k_{PF_2}nbsp=nbsp\frac{y}{xc}。由k_{PF_1}nbsp\cdotnbspk_{PF_2}nbsp=nbsp\frac{1}{2}，得，得nbsp，得\frac{y2}{(x+c)(xc)}nbsp=nbsp\frac{1}{2}，即\frac{y2}{x2c2}nbsp=nbsp\frac{1}{2}。因为点P(x,y)在椭圆上，所以。因为点P(x,nbspy)在椭圆上，所以nbsp。因为点P(x,y)在椭圆上，所以\frac{x2}{a2}nbsp+nbsp\frac{y2}{b2}nbsp=nbsp1，即，即nbsp，即y2nbsp=nbspb2(1\frac{x2}{a2})。代入上式，并结合。

    nbsp代入上式，并结合nbsp。代入上式，并结合b2=c2及及及a2=2c2得：\frac{c2(1\frac{x2}{2c2})}{x2c2}nbsp=nbsp\frac{1}{2}nbsp\frac{c2nbspnbsp\frac{x2}{2}}{x2c2}nbsp=nbsp\frac{1}{2}nbsp2(c2nbspnbsp\frac{x2}{2})nbsp=nbsp(x2c2)nbsp2c2nbspnbspx2nbsp=nbspx2nbsp+nbspc2nbsp2c2nbsp=nbspc2nbsp

    nbsp“嗯？”秦风写到这里，眉头微微一蹙。这个结果显然是错误的。

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    nbsp台下，高远嘴角的讥诮更浓了：“怎么？这就卡住了？看来‘大数学家的水平也不过如此嘛！”

    nbsp一些同学也忍不住发出了低低的嗤笑声。

    nbsp秦风却恍若未闻，他的大脑在飞速运转。系统虽然给出了最优路径，但具体的推导和计算，依然需要他自己完成。刚才的推导过程中，显然有一个细节被他忽略了，或者说，系统给出的“斜率之积”这个条件，可能有更简洁的应用方式。

    nbsp“点P在椭圆上，斜率之积……椭圆的第二定义？

    nbsp不对……等等，y2=?12(x2?c2)y2nbsp=nbsp\frac{1}{2}(x2c2)y2=?21(x2?c2)，这个形式……”

    nbsp秦风的目光再次扫过题目条件，脑海中灵光一闪！

    nbsp“我明白了！”

    nbsp他迅速擦掉了刚才推导错误的部分，粉笔尖再次点向黑板。

    nbsp由nbspkPF1kPF2=?b2a2k_{PF_1}nbsp\cdotnbspk_{PF_2}nbsp=nbsp\frac{b2}{a2}kPF1?kPF2=?a2b2nbsp是椭圆的一个固有性质（当焦点在x轴上时，对于非顶点P，其与两焦点连线斜率之积为常数?b2a2\frac{b2}{a2}?a2b2）。

    nbsp因此，?b2a2=?12\frac{b2}{a2}nbsp=nbsp\frac{1}{2}?a2b2=?21，即nbspa2=2b2a2nbsp=nbsp2b2a2=2b2。

    nbsp......

    nbsp所以，椭圆C的标准方程为：x22+y2=1\frac{x2}{2}nbsp+nbspy2nbsp=nbsp12x2+y2=1

    nbsp行云流水！

    nbsp当秦风写下椭圆标准方程的那一刻，台下那些原本准备看笑话的同学，脸上的表情都微微一僵。

    nbsp虽然第一问相对简单，但秦风刚才那短暂的停顿、迅速的纠错、以及最后那句“椭圆的固有性质”，都显示出他对椭圆知识点的掌握，似乎……并没有他们想象中那么不堪？

    nbsp尤其是那句“固有性质”，很多同学甚至都没听说过，或者只是在某些参考书的角落里见过，根本没当回事！

    nbsp高远也是微微一怔，他没想到秦风竟然知道这个相对冷僻的性质。不过，他很快便恢复了镇定，心中冷笑：“哼，歪打正着罢了！第一问算你蒙混过关，我看你第二问、第三问怎么办！”

    nbsp秦风没有理会台下的反应，他的注意力高度集中，粉笔毫不停歇地转向了第二问。

    nbsp（2）由（1）知nbspF1(?1,0),F2(1,0)F_1(1,nbsp0),nbspF_2(1,nbsp0)F1(?1,0),F2(1,0)。设直线l的方程为nbspx=my+1xnbsp=nbspmy+1x=my+1（当直线l斜率k存在时，m=1km=\frac{1}{k}m=k1；当k不存在时，直线l为x=1x=1x=1，与椭圆交于(1,±22)(1,nbsp\pmnbsp\frac{\sqrt{2}}{2})(1,±22)，此时AB中点为(1,0)(1,0)(1,0)即F?，直径∣AB∣=2|AB|=\sqrt{2}∣AB∣=2，圆心为F?，显然不过F?，故k存在且不为0）。

    nbsp将nbspx=my+1xnbsp=nbspmy+1x=my+1nbsp代入椭圆方程nbspx22+y2=1\frac{x2}{2}nbsp+nbspy2nbsp=nbsp12x2+y2=1得：

    nbsp......

    nbsp设nbspA(xA,yA),B(xB,yB)A(x_A,nbspy_A),nbspB(x_B,nbspy_B)A(xA,yA),B(xB,yB)，则nbspyA+yB=?2mm2+2y_Anbsp+nbspy_Bnbsp=nbsp\frac{2m}{m2+2}yA+yB=?m2+22m，yAyB=?1m2+2y_Anbspy_Bnbsp=nbsp\frac{1}{m2+2}yAyB=?m2+21。

    nbsp因为以AB为直径的圆过点F?，所以nbspF1A??F1B?=0\vec{F_1A}nbsp\cdotnbsp\vec{F_1B}nbsp=nbsp0F1A?F1B=0.

    nbsp......

    nbsp代入韦达定理的表达式：

    nbsp(m2+1)(?1m2+2)+2m(?2mm2+2)+4=0(m2+1)(\frac{1}{m2+2})nbsp+nbsp2m(\frac{2m}{m2+2})nbsp+nbsp4nbsp=nbsp0(m2+1)(?m2+21)+2m(?m2+22m)+4=0

    nbsp......

    nbsp所以nbspm=±7mnbsp=nbsp\pmnbsp\sqrt{7}m=±7

    nbsp则直线l的斜率nbspk=1m=±17=±77knbsp=nbsp\frac{1}{m}nbsp=nbsp\pmnbsp\frac{1}{\sqrt{7}}nbsp=nbsp\pmnbsp\frac{\sqrt{7}}{7}k=m1=±71=±77

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    nbsp“唰唰唰——”

    nbsp粉笔在黑板上划过，留下一行行清晰、工整、逻辑严密的推演步骤。

    nbsp秦风的动作没有丝毫的停顿，仿佛这些复杂的计算和推导，早已经在他脑海中演练了千百遍。

    nbsp他的思路之清晰，步骤之简练，速度之快捷，已经让台下所有的学生都看得目瞪口呆！

    nbsp那些原本还带着一丝轻蔑和怀疑的眼神，此刻已经完全被震惊所取代！

    nbsp“卧槽！这……这真的是秦风在解题？”

    nbsp“他的速度也太快了吧！而且每一步都好像没有经过思考一样，直接就写出来了！”

    nbsp“第二问的计算量这么大，他竟然一点都没卡壳？这不科学啊！”

    nbsp“你们看他的步骤，用向量法处理圆过F?的条件，思路非常清晰，比我们平时想的那些硬算要简洁多了！”

    nbsp就连班级里那几个自诩为学霸的学生，此刻也是面面相觑，从彼此的眼中看到了一抹难以置信的骇然。

    nbsp他们扪心自问，就算把这道题交给他们来做，也绝对不可能达到秦风这种举重若轻、行云流水般的境界！

    nbsp高远脸上的讥诮早已消失得无影无踪，取而代之的，是一种见了鬼般的错愕与呆滞。

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